Решение контрольных, решение задач по математике, решение задач по физике

Словарь терминов

На данной странице опубликован словарь математических и физических терминов. Словарь постоянно пополняется новыми терминами.

Если вы хотите сделать заказ на решение контрольной перейдите на главную страницу нашего сайта http://www.zadachi-reshenie.ru/

МЕСТО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМЕ НАУК

Место высшей математики в системе наук определяется тем, что она играет для других дисциплин роль методологии. Для естествознания, экономической теории, для наук социального, гуманитарного цикла высшая математика выполняет функцию общенаучного метода. Кроме того, что математика служит языком всякой науки, она является также способом мышления, инструментом доказательства. Еще одно методологическое назначение математики состоит в том что она вырабатывает для остальной науки структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных наук.

Обладая способностью представлять любую информацию в виде количественных характеристик, математика вырабатывает и особые, отличные от естествознания приемы исследования: математический эксперимент, математическую гипотезу, математическое моделирование. Их специфика состоит в том, что вместо операций с конкретными объектами математические методы добывают результат путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, интерпретируя затем полученные числовые выражения в терминах содержательного значения.

Математический эксперимент, имея дело не с самими предметами и процессами природы и общественной жизни, а с их количественными описаниями, позволяет избежать материальных затрат на проведение практических исследований. Лабораторией математика является его интеллект.

Подобным образом работает и математическая гипотеза, задавая любую ситуацию на языке числовых параметров и оперируя ими. Вместо обычной используется вычислительная гипотеза, полученная на основе математических расчетов. Благодаря этому реализуется доступ к недоступным объектам и процессам. Эффективность математической гипотезы обусловлена возможностью на основе математического формализма находить по аналогии результат до выяснения его физического содержания.

Эффективным инструментом познания окружающей действительности является и математическое моделирование. По определению модель есть заместитель объекта, квазиобъект, на котором испытываются режимы работы исследуемого явления и результаты которого переносятся с учетом масштабов на оригинал. Процедура получения информации на модели осуществляется следующим образом. Если А есть модель В, то выполняется такая зависимость:

у = f(x), где f - знак связи, а у и х - переменные. Подставляя на место х характеристики А, будем получать на месте у набор значений В.

В случае математического моделирования в качестве объекта-заместителя выступает не вещь, а набор дифференциальных уравнений, решая которые исследователь выводит результат и интерпретирует его в терминах вещественных характеристик изучаемого объекта.

Теория вероятности и математическая статистика

Бином Ньютона – формула для возведения в n-ю степень двучлена (бинома) a+b:

Название формула получила в честь великого английского математика сэра Исаака Ньютона, который обобщил ее на случай дробных и отрицательных показателей степени.

Биноминальные коэффициенты – коэффициенты в формуле бинома Ньютона. Каждый коэффициент является числом сочетаний из n по k.

Благоприятствующее элементарное событие. Элементарное событие, при наступлении которого наступает событие А, называется элементарным событием, благоприятствующим событию А.

Вероятность – числовая мера правдоподобия события. Вероятность принимает значения от 0 до 1.

Выбор наудачу (случайный выбор) – выбор одного предмета из некоторого набора, при котором шансы на выбор любого предмета одинаковы.

Выборка – часть всей совокупности людей или предметов, отобранная для исследования. Например, выборкой является группа избирателей, которую опрашивают для предварительного выяснения шансов кандидатов на избрание в парламент страны.

Диаграмма – метод графического представления данных, который используется для наглядного их отображения и сравнения. Как правило, диаграммы не дают точных значений, но лишь приблизительные.

Диаграмма круговая – диаграмма в виде круга, разделенного на секторы. Каждый сектор показывает, какую долю целого составляет та или иная величина в наборе данных. Обычно круговые диаграммы применяются для изображения состава населения, деления экономики на отрасли и т. п.

Диаграмма рассеивания – диаграмма, составленная из точек на координатной плоскости. Диаграммы рассеивания применяются для изучения связей между различными характеристиками, например ростом и весом животного и т. д. Абсцисса и ордината каждой точки – значения этих характеристик.

Диаграмма столбиковая – диаграмма, наглядно показывающая соотношение между различными значениями. Каждое значение представляется в виде столбика, высота которого пропорциональна этому значению.

Диаграмма Эйлера – способ графического изображения событий в виде фигур на плоскости. Каждое событие изображается некоторой фигурой, пересечение событий – общей частью этих фигур, объединение событий – объединением фигур. Диаграммы Эйлера позволяют наглядно показать связь между различными событиями. Несовместные события изображаются фигурами, не имеющими общих точек.

Дисперсия набора чисел – мера разброса значений числовых наборов (числовой выборки). Дисперсия набора равна среднему квадрату отклонения чисел набора от среднего арифметического значения:

Дисперсия случайной величины – мера рассеивания (разброса) значений случайной величины, определяемая формулой

Дисперсию также можно вычислять по формуле

У постоянной случайной величины дисперсия равна нулю.

Достоверное событие – случайное событие, вероятность которого равна 1. Это событие обязательно происходит при проведении опыта. Примером достоверного события является событие «выпал либо орел, либо решка» при бросании монеты.

Событие, противоположное достоверному, называется невозможным.

Закон больших чисел – собирательное название группы математических теорем, утверждающих, что среднее значение суммы случайных величин мало отличается от среднего значения их математических ожиданий при различных условиях. Основное условие – большое число складываемых величин, откуда и происходит название закона.

Испытание Бернулли – эксперимент, который заканчивается одним из двух элементарных событий: успехом или неудачей.

Комбинаторная задача – задача, связанная с необходимостью перечисления предметов или их комбинаций.

Легенда диаграммы – изображение условных обозначений с разъяснениями. Легенды также бывают у географических карт.

Маловероятное событие – событие, вероятность которого в обычных условиях считается малой. Пример – выигрыш в лотерею.

Математическая игральная кость – «идеальный» игральный кубик, для которого вероятность выпадения любой грани равна Математическую кость называют также симметричной. Наилучшим приближением к математической кости является обычная правильная кость.

Математическая монета – «идеальная» монета, которая падает вверх орлом с вероятностью Все свойства настоящей монеты – размер, материал, достоинство – для математической монеты несущественны. Математическую монету еще называют симметричной монетой.

Математическое ожидание случайной величины – числовая характеристика случайной величины, показывающая ее среднее значение. Математическое ожидание случайной величины вычисляется по формуле

Где – вероятность того, что

Медиана числового набора. Медиана набора – число, которое характеризует расположение набора на числовой прямой.

Чтобы найти медиану, набор чисел можно упорядочить по возрастанию. Если в полученном наборе не четное количество чисел, то медиана – это число, стоящее посередине; если в полученном наборе четное количество чисел, то медиана равна полусумме двух чисел, стоящих посередине.

Мера рассеивания (мера разброса) – числовая характеристика, показывающая, насколько близко к среднему значению группируются числа в наборе или значения случайной величины. Наиболее употребительные меры рассеивания – размах набора, средний модуль отклонения, дисперсия (средний квадрат отклонения) и стандартное отклонение (арифметический квадратный корень из дисперсии).

Наибольшее значение набора – число в наборе, которое не меньше, чем любое другое число этого набора.

Наименьшее значение набора – число в наборе, которое не больше, чем любое другое число этого набора.

Невозможное событие – случайное событие, вероятность которого в данном опыте равно нулю. Невозможное событие противоположно достоверному.

Независимые случайные величины – Если любые два события, одно из которых связано со случайной величиной X, а другое – со случайной величиной Y, независимы, то случайные величины X и Y называются независимыми.

Аналогично определяется произвольное количество независимых величин.

Важным примером независимых величин является число успехов в различных независимых испытаниях Бернулли.

Для независимых случайных величин X и Y верны следующие свойства:

E(XY) = E(X) ^. E(Y);

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Независимые события. Два события A и B называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A) ^. P(B).

Часто независимость событий объясняется независимостью опытов, к которым они относятся. Например, независимы два события, относящиеся к различным испытаниям Бернулли.

Несовместные события – два события, которые не могут наступить в одном и том же опыте вместе (одновременно). Примером несовместных событий являются противоположные события.

Объединение (сумма) событий. Объединением событий А и В называется событие, которое происходит в том и только том случае, когда происходит хотя бы одно из событий А и В.

Орел – одна из сторон монеты (реверс). Другая сторона (аверс) называется решкой. Выпадение орла – одно из двух элементарных событий при бросании монеты.

Отклонение стандартное (среднее квадратичное) – мера рассеивания, которая равна арифметическому квадратному корню из дисперсии случайной величины:

Пересечение (произведение) событий. Пересечением событий А и В называется событие, которое происходит в том и только в том случае, когда наступают оба события А и В.

Перестановка – один из способов нумерации элементов некоторого множества. Если в множестве n элементов, то существует n! перестановок этих элементов.

Правило сложения вероятностей – правило, по которому вычисляется вероятность объединения событий. Для двух произвольных событий А и В верна формула

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB).

Если события А и В несовместны, то формула принимает более простой вид:

P(AB) = P(A) + P(B).

Правило умножения вероятностей – правило, которое гласит, что вероятность пересечения независимых событий равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A) ^. P(B).

Правило умножения комбинаторное – правило, которое гласит, что число пар из двух предметов двух типов равно

m n,

где m – число предметов первого типа, n – число предметов второго типа. Имеется в виду, что в паре на первом месте стоит предмет первого типа, на втором – предмет второго типа.

Аналогично вычисляется число упорядоченных наборов, состоящих из предметов трех. Четырех и более типов.

Противоположное событие. Событием, противоположным событию А, называется событие , состоящее в том, что событие А не наступило. Можно сказать иначе: событие наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Равновероятные события – события, вероятности которых равны. Примером равновероятных событий могут служить равновозможные элементарные события. В опыте с бросанием игральной кости вероятность каждого из элементарных событий равна , поэтому все они равновероятны.

Равновозможные элементарные события – элементарные события, у которых одинаковые шансы на наступление. Примером может служить опыт, состоящий в бросании правильной игральной кости. В этом опыте шесть элементарных событий, и все они равновозможные.

Размах набора – разность между наибольшими и наименьшими значениями этого набора.

Распределение вероятностей – закон, по которому каждому значению случайной величины в соответствие ставится вероятность того, что величина примет это значение. Распределение для конечной случайной величины можно задать таблицей, диаграммой или формулой.

Решка – одна из сторон монеты (аверс). Другая сторона (реверс) называется орлом. Выпадение решки - одно из двух элементарных событий при бросании монеты.

Серия испытаний Бернулли – случайный эксперимент, состоящий в последовательном проведении нескольких отдельных независимых испытаний Бернулли с одной и той же вероятностью успеха.

Систематическая ошибка – одна и та же ошибка, возникающая при любом измерении или наблюдении и связанная с настройкой прибора. Например, если весы не отрегулированы, то они все время могут показывать на 10 г больше, чем надо. Здесь 10 г – систематическая ошибка.

Если систематической ошибки нет, то все другие отклонения связаны со случайной изменчивостью и называются случайными ошибками измерения.

Случайная величина – величина, которая принимает те или иные значения в ходе случайного опыта под воздействием случая.

Случайная изменчивость – способность некоторой величины принимать различные значения по воле случая, т. е. под воздействием различных обстоятельств, которые нет возможности ни предвидеть, ни изменить.

Случайное событие – событие, которое может наступить в ходе некоторого опыта, а может и не наступить. Наступит случайное событие или нет – дело случая. Невозможное и достоверное события также относятся к случайным.

Случайный опыт (случайный эксперимент) – математическая абстракция, описывающая реальный опыт, который может оканчиваться различными случайными событиями. Под случайным опытом можно также понимать наблюдение за некоторым явлением природы или измерение некоторой величины (длины, массы и т. п.). Иногда случайный опыт проводят намеренно. Примером может служить любая игра или лотерея, спортивное состязание.

Сочетание. Любой набор k предметов, отобранных из набора, в котором n предметов, называется сочетанием из n по k.

Среднее набора чисел – среднее арифметическое чисел этого набора, т. е. их сумма, деленная на их количество.

Статистика – наука, посвященная методам систематизации, обработки и использования большого количества числовых данных. Такие данные называются статистическими. Важным примером статистических данных может служить численность групп населения страны, данные о производстве того или иного вида продукции, сведения о спросе и предложении какого-либо товара.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий вероятность событий. Теория вероятностей разрабатывает методы, с помощью которых можно вычислить вероятности одних событий, зная вероятности других. Теория вероятностей изучает также случайные величины и их распределения.

Точность измерения. Под точностью измерения часто понимают допустимую ошибку, которую можно сделать при измерении. Например, измеряя рост человека, говорят об измерении с точностью до сантиметра.

Под точностью измерения также понимают модуль разности между результатом измерения и истинным значением величины (длины, массы и т. п.).

Треугольник Паскаля (числовой или арифметический треугольник) – треугольная таблица, в которой записаны биномиальные коэффициенты (числа сочетаний) . Крайние числа в каждой строке равны 1. Каждое число внутри треугольника получается сложением двух чисел, стоящих над ним. Треугольник назван в честь французского математика Блеза Паскаля, опубликовавшего в 1665 году «Трактат об арифметическом треугольнике».

Факториал. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n. Факториал числа n обозначается n!.

Таким образом, для натурального n факториал вычисляется по формуле

Факториал нуля по определению полагают равным единице: 0!=1, 1!=1.

Частота. Пусть при проведении n случайных опытов событие А наступило k раз. Частотой события А называется отношение .

Численность (объем) выборки – количество чисел, людей, предметов в исследуемой выборке.

Число сочетаний. Число различных сочетаний из n по k обозначается и вычисляется по формуле

Число успехов в сери испытаний Бернулли. Вероятность того, что в результате серии из n испытаний Бернулли наступит ровно k успехов, равна

где p и q – соответственно вероятности успеха и неудачи.

Элементарное событие – простейшее событие, которое наступает в результате случайного опыта. Элементарное событие нельзя разложить на более простое.

Любое событие опыта состоит из некоторых элементарных событий в том смысле, что является их объединением. Еще говорят, что элементарное событие может благоприятствовать некоторому событию.

ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
Множеством (М) называется совокупность определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества, или точками. Множество может содержать конечное или бесконечное число однородных элементов. Множество можно описать, указав какое-нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.
Математические множества состоят из векторов, чисел, функций, матриц и других объектов. Множества обозначаются прописными буквами А. В, С и т.д. Элементы множества обозначаются строчными буквами а, b, с и т.д. Если а - элемент множества М, это записывается следующим образом: а М (а принадлежит М). Запись а М означает, что а не принадлежит М.
Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество A включается (содержится) в множестве В.
Если А В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом A≠В, множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А В.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается.Пустое множество является подмножеством любого множества.
Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения:
А А;

А B B C А C

Здесь знак обозначает конъюнкцию (логическое «и»).
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов: M=(a1,...,аn ).
Множество называется бесконечным, если число его элементов бесконечно: M=(a1,...,аn,…). Числовые множества задаются на оси действительных чисел, которая обозначается R. Чаще всего используются следующие числовые множества: N - множество натуральных чисел, Z - целых чисел, Q - рациональных чисел, отрезок [а, b], интервал (а, b).
Счетное множество - множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы А было представимо в виде последовательности:

А={a_n}.

Однозначное соответствие устанавливается между множествами, если каждому элементу одного множества поставлен в соответствие один и только один элемент другого множества. При этом возможно, одному элементу первого множества (образу) поставлено в соответствие несколько элементов второго множества (прообразов). Взаимно однозначное соответствие устанавливается в обе стороны. Такие множества называются эквивалентными, или однозначными, и обозначают следующим образом: A↔ В.
Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:
A В А B B A

Мощность конечных множеств определяется числом их элементов. Континуумом называется мощность множества действительных чисел.

Главная Сервис Контакты Отзывы Примеры оформления Наши друзья

Сайт «Задачи-решение» - это решение контрольных, решение задач по физике, решение задач по математике.